دعا مشاكل الألفية هناك سبع مسائل رياضية تطرحها معهد كلاي للرياضيات في عام 2000، كتحدي لمجتمع الرياضيات. المكافأة الموعودة هي مليون دولار لكل من هذه المشاكل إذا تم حلها. ومع ذلك، حتى الآن، تم إثبات واحد منهم فقط. تعتبر هذه المشاكل من بين الأكثر تعقيدا في الرياضيات الحالية، ويمكن أن يمثل حلها تقدما كبيرا ليس فقط في الرياضيات، ولكن في المجالات ذات الصلة مثل الفيزياء وعلوم الكمبيوتر والتشفير.
ما هي مشاكل الألفية؟
الكثير مشاكل الألفية وهي عبارة عن سلسلة من التخمينات أو البيانات الرياضية التي تم التحقق من توافقها مع الأدلة المعروفة، ولكن لم يتم العثور على حل لها بعد. برهان رياضي صارم الذي يؤكد صحتها. إن حل إحدى هذه المشكلات لا يتضمن فهم العبارة بعمق فحسب، بل يتضمن أيضًا إثبات صحتها على أساس رياضي متين. وحقيقة أن واحدة فقط من هذه المشاكل قد تم حلها حتى الآن تشهد على ذلك صعوبة منهم.
El معهد كلاي للرياضيات طرح هذه المشاكل لتعزيز تقدم المعرفة الرياضية. إذا تم حل مشكلة ما، فإن المعهد لا يقدم فقط هيبة حل بعض الأسئلة الأكثر تعقيدًا في الرياضيات الحديثة، ولكن أيضًا مكافأة قدرها مليون دولار. في المجمل، هناك سبعة تحديات مقترحة في البداية، ولم يتم حل سوى واحد منها حتى الآن. دعونا نرى أدناه ما تتكون هذه المشاكل.
حدسية بوانكاريه
La حدسية بوانكاريه إنها مشكلة الألفية الوحيدة التي تم حلها حتى الآن. تم اقتراحها من قبل عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه في عام 1904 وطرح فرضية في مجال طوبولوجيا، المتعلقة بتوصيف المجال ثلاثي الأبعاد. ينص التخمين على أن أي مشعب ثلاثي الأبعاد متصل ببساطة يجب أن يكون متجانسًا مع كرة ثلاثية الأبعاد.
تم حل التخمين أخيرًا بواسطة عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان في عام 2002، الذي نشر برهانه بطريقة غير تقليدية: نشره عبر الإنترنت بدلاً من تقديمه إلى مجلة علمية. على الرغم من وجود شكوك في البداية حول منهجه، إلا أنه تم التحقق من عمله من قبل علماء رياضيات آخرين، وفي عام 2006، حصل على جائزة ميدالية فيلدز. ومع ذلك، رفض بيرلمان الجائزة والمليون دولار التي عرضها معهد كلاي.
P مقابل NP
من أشهر مشاكل نظرية الحوسبة يسمى P مقابل NP. يثير هذا اللغز الرياضي مسألة ما إذا كان من الممكن أيضًا حل جميع المشكلات التي يمكن التحقق منها بسرعة بسرعة. بعبارات أكثر رسمية، تكمن المشكلة في تحديد ما إذا كانت P (مجموعة المشاكل التي يمكن حلها في زمن كثير الحدود) تساوي NP (مجموعة المشاكل التي يمكن التحقق من نتائجها في زمن كثير الحدود).
ومن شأن حل هذه المشكلة أن يكون له آثار ثورية في عدة مجالات، بما في ذلك التشفير، الذكاء الاصطناعي و التحسين. إذا كانت P مساوية لـ NP، فإن العديد من المهام معقدة للغاية بالنسبة لأجهزة الكمبيوتر اليوم، مثل فك رموز كلمات المرور التشفير أو حل مشكلات التحسين المعقدة، يمكن إجراؤها في أوقات أقصر بكثير.
تخمين هودج
La تخمين هودج ينشأ في مجال الهندسة الجبرية و طوبولوجيا جبرية. بشكل عام، ينص على أنه بالنسبة للتنوع الجبري الإسقاطي المعقد، فإن بعض الدورات التي تظهر في علم تجانس دي رام لها توافق مع الطبقات الجبرية من الأصناف الفرعية. ستكون هذه الدورات الجبرية عبارة عن مجموعات خطية عقلانية من عديدات الطيات الجزئية الجبرية.
أحد أكبر التحديات التي تواجه هذا التخمين هو أنه يقع في مجال يشمل كلا التخصصين، والأدوات اللازمة لحله قد لا تنتمي فقط إلى المجال الجبري o الفارقولكنها تتطلب تقنيات عرضية ومعقدة أكثر بكثير.
فرضية ريمان
طرحها عالم الرياضيات الألماني عام 1859 بيرنهارد ريمانهذه الفرضية هي واحدة من أقدم المسائل الرياضية وأكثرها غموضا. ال فرضية ريمان يشير إلى توزيع الأعداد الأولية وينص على أن جميع الأصفار غير التافهة في دالة زيتا لريمان لها القيمة 1/2 باعتبارها الجزء الحقيقي منها.
إن دالة زيتا لريمان لها علاقة وثيقة جدا بالأعداد الأولية، وإذا ثبتت هذه الفرضية، فإن فهما أعمق للدالة زيتا توزيع الأعداد الأولية. ويعتقد العديد من علماء الرياضيات أن الفرضية صحيحة، وقد تم حساب تريليونات من الأصفار التي تناسب التخمين، ولكن حتى الآن لم يتم التوصل إلى برهان كامل.
وجود يانغ ميلز والقفز الجماعي
La نظرية يانغ ميلز إنه جزء مهم من فيزياء الجسيمات ونظرية المجال الكمي. تم تصميمه في الأصل لنموذج حقل كهرومغناطيسي وتم تطبيقه لاحقًا على الديناميكا اللونية الكمومية، التي تصف التفاعلات بين الكواركات والجلونات في النواة الذرية. تكمن المشكلة الرياضية في إثبات وجود معادلات يانغ-ميلز وصلاحيتها الدقيقة وفهم كيفية إنشاء المعادلة. فجوة جماعية.
تشير ظاهرة فجوة الكتلة إلى سبب اكتساب الجسيمات عديمة الكتلة مثل الغلوونات في شكلها الكلاسيكي كتلة محدودة في نظرية الكم. وعلى الرغم من إجراء عمليات محاكاة على أجهزة الكمبيوتر العملاقة حتى الآن والتي تدعم هذا التخمين، إلا أن الدليل الرياضي الدقيق لا يزال بعيد المنال.
معادلات نافيير-ستوكس
ال معادلات نافييه-ستوكس هي مجموعة من المعادلات التي تصف حركة السوائل مثل السوائل والغازات. تعتبر هذه المعادلات، التي صيغت في القرن التاسع عشر، أساسية لفهم ديناميكيات الموائع، بدءًا من تدفقات الهواء التي تؤثر على الطائرات إلى أنماط الطقس والتيارات المحيطية. ومع ذلك، تعقيد هذه المعادلات لم يسمح لعلماء الرياضيات بفهم سلوكيات معينة بشكل كامل، مثل تكوين الاضطراب أو الانتقال من التدفقات الصفحية إلى التدفقات المضطربة.
يتمثل التحدي الرياضي في إثبات، في ظل ظروف أولية معينة، ما إذا كان الحل السلس (أي بدون التفردات) لمعادلات نافييه-ستوكس يمكن الحفاظ عليه مع مرور الوقت، أو على العكس من ذلك، إذا ظهرت المتفردات التي تؤثر على استمراريته.
تخمين بيرش وسوينرتون-داير
هذا يخمن، اقترحه علماء الرياضيات الإنجليزية بريان بيرش y بيتر سوينرتون داير في الستينيات، تعامل مع الحلول العقلانية للمشاكل منحنيات بيضاوية. المنحنيات الإهليلجية هي كائنات جبرية يمكن تصورها، في أبسط صورها، كخطوط في المستوى، نظرية الأعداد يربط سلسلة من الخصائص الحسابية بهذه المنحنيات.
يشير التخمين إلى أن هناك طريقة لتحديد ما إذا كان المنحنى الإهليلجي له عدد محدود أو لا نهائي من الحلول العقلانية، بناءً على خصائص معينة له. وظيفة L. قد يتضمن حل هذه المشكلة تحقيق تقدمات رئيسية في مجالات مثل التشفير، حيث إن المنحنيات الإهليلجية أساسية في العديد من أنظمة التشفير الحديثة.
إن حل أي من هذه المشاكل سيكون إنجازا غير مسبوق ومن شأنه أن يحدث تحولا في الرياضيات، بالإضافة إلى تقديم مكافأة مالية كبيرة وجدارة أكاديمية أبدية.